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与えられた根から二次方程式を書く方法

March 28, 2026·9 min read·Solvify Team

与えられた根から二次方程式を書くには、通常の解く過程を逆にします。方程式から根を抽出する代わりに、根から方程式を構築するのです。この方法は1つの考え方に基づいています—r₁とr₂が二次方程式の根である場合、(x − r₁)(x − r₂) = 0になります。このガイドでは、整数の根から分数、無理数、複素数の共役までのあらゆるケースをカバーし、それぞれ完全に計算された例と自己確認ステップで説明されています。

根から二次方程式を書くことの意味は何か？

二次方程式は標準形ax² + bx + c = 0を持ち、a ≠ 0です。その根（ゼロまたは解とも呼ばれます）は、方程式を満たすx値です。問題が「根が3と5の二次方程式を書きなさい」と言う場合、逆方向に作業することを要求しています—解いたときにちょうどその2つの根を生み出す方程式を見つけることです。これは代数2から前計算まで試験される中核代数スキルであり、因数分解、放物線のグラフ化、より高次の多項式の構築に直接つながります。重要な洞察は、根と因数は同じコインの両面であるということです。x = rが根である場合、(x − r)は二次方程式の因数です。

根r₁とr₂を持つすべての二次方程式は、a(x − r₁)(x − r₂) = 0と書くことができます。ここでaはゼロでない定数です—問題で別の指定がない限り、通常は1です。

因数形式法—段階的に

最も直接的なアプローチは、因数形式を使うことです。根は因数をゼロに等しくする値であるため、2つの因数は(x − r₁)と(x − r₂)でなければなりません。これらの因数を乗算して展開すると、標準形の方程式が得られます。この3段階のプロセスは、符号や大きさに関係なく、あらゆる実根のペアに対して機能します。符号の置き換えを慎重に作業してください—これはほとんどのエラーが発生するステップです。

1. ステップ1—因数形式を書く

(x − r₁)(x − r₂) = 0で始めます。与えられた根の値をr₁とr₂に置き換え、符号に細心の注意を払います。根が3と5の場合：(x − 3)(x − 5) = 0。

2. ステップ2—FOILを使って展開する

2つの二項式を乗算します。(x − 3)(x − 5) = x·x + x·(−5) + (−3)·x + (−3)·(−5) = x² − 5x − 3x + 15 = x² − 8x + 15。

3. ステップ3—標準形で書いて検証する

展開された式をゼロに等しく設定します：x² − 8x + 15 = 0。これが根3と5を持つ二次方程式です。x = 3を代入して検証します：9 − 24 + 15 = 0 ✓。x = 5 → 25 − 40 + 15 = 0 ✓。

ビエタの公式—和と積の近道

ビエタの公式は、展開ステップをスキップする高速ルートを提供します。首一次二次方程式x² + bx + c = 0（首項係数1）の場合、根の和は−bに等しく、根の積はcに等しくなります。再配置すると、テンプレートx² − (根の和)x + (根の積) = 0が得られます。ビエタの公式は、与えられた根を具体的な数ではなく代数式として書きたい場合や、因数分解結果をすばやくチェックしたい場合に特に役立ちます。

1. ステップ1—根の和を求める

2つの根を加えます。例：根は−2と7です。合計 = −2 + 7 = 5。

2. ステップ2—根の積を求める

2つの根を乗算します。積 = (−2) × 7 = −14。

3. ステップ3—ビエタのテンプレートに置き換える

x² − (和)x + (積) = 0は、x² − 5x + (−14) = 0になり、x² − 5x − 14 = 0に簡略化されます。

4. ステップ4—因数分解して検証する

x² − 5x − 14は(x − 7)(x + 2) = 0に因数分解され、根x = 7とx = −2が得られます ✓。

任意の首一次二次方程式x² + bx + c = 0について：根の和 = −bで、根の積 = c。

整数根を持つ計算例

整数根はクイズと標準化テストで最も一般的なタイプです。以下の4つの例は、正の根、混合符号、両方負の根、およびゼロ根をカバーしています—各シナリオは、結果の方程式の予測可能な符号パターンを生み出します。これらのパターンを認識すると、方程式をより速く書いてチェックするのに役立ちます。

1. 例1—両方の根が正：根4と6

合計 = 4 + 6 = 10。積 = 4 × 6 = 24。方程式：x² − 10x + 24 = 0。両方の根が正の場合、中間項と定数の両方が正です。チェック：(x − 4)(x − 6) = x² − 10x + 24 ✓。

2. 例2—混合符号：根−3と8

合計 = −3 + 8 = 5。積 = (−3) × 8 = −24。方程式：x² − 5x − 24 = 0。根が反対の符号を持つ場合、定数は負です。チェック：(x + 3)(x − 8) = x² − 8x + 3x − 24 = x² − 5x − 24 ✓。

3. 例3—両方の根が負：根−5と−2

合計 = −5 + (−2) = −7。積 = (−5)(−2) = 10。方程式：x² − (−7)x + 10 = x² + 7x + 10 = 0。2つの負数の乗算は正数になるため、両方の項が正です。チェック：(x + 5)(x + 2) = x² + 7x + 10 ✓。

4. 例4—1つの根はゼロ：根0と9

合計 = 0 + 9 = 9。積 = 0 × 9 = 0。方程式：x² − 9x + 0 = 0、これはx² − 9x = 0に簡略化されます。チェック：x(x − 9) = 0はx = 0またはx = 9を与えます ✓。

両方の根が負である場合、中間項係数と定数の両方が正です—両方が正の根の場合のパターンとは反対です。

分数と無理数の根を持つ計算例

分数根と無理数根は、標準化テストと前計算に現れます。分数根の場合、ビエタの公式を適用した後に最小公倍数で乗算して分母をクリアする方が清潔なことがよくあります。無理数根はほぼ常に、a + √bとa − √bの形式の共役ペアで現れます。これは便利です：根号は和で相殺され、積は差の平方になり、根号は残りません。

1. 例1—分数根：1/2と3/4

合計 = 1/2 + 3/4 = 2/4 + 3/4 = 5/4。積 = (1/2)(3/4) = 3/8。基本方程式：x² − (5/4)x + 3/8 = 0。すべての項に8を乗算して分数をクリアします：8x² − 10x + 3 = 0。検証：判別式 = 100 − 96 = 4、根 = (10 ± 2)/16 = 3/4または1/2 ✓。

2. 例2—純粋な根号の根：√5と−√5

合計 = √5 + (−√5) = 0。積 = (√5)(−√5) = −5。方程式：x² − 0·x + (−5) = 0 → x² − 5 = 0。チェック：x² = 5、x = ±√5 ✓。

3. 例3—共役根号の根：2 + √3と2 − √3

合計 = (2 + √3) + (2 − √3) = 4。積 = (2 + √3)(2 − √3) = 4 − 3 = 1。方程式：x² − 4x + 1 = 0。チェック：二次公式は、x = (4 ± √(16 − 4))/2 = (4 ± √12)/2 = 2 ± √3 ✓を与えます。

共役根号の根(a ± √b)は常に整数係数を持つ二次方程式を生成します—その和と積は両方とも有理数です。

複素数の根を持つ二次方程式を書く

複素数の根は常に共役ペアで現れます。1つの根がa + biである場合、もう1つはa − bi（i = √(−1)）です。これは、実係数を持つ多項式の複素共役根定理によって保証されています。代数は根号の場合と同じです—ビエタの公式を使用し、虚部は和で相殺され、積は平方の和になり、常に正の定数が得られます。

1. 例1—根3 + 2iと3 − 2i

合計 = (3 + 2i) + (3 − 2i) = 6。積 = (3 + 2i)(3 − 2i) = 9 − (2i)² = 9 − (−4) = 13。方程式：x² − 6x + 13 = 0。

2. 二次公式で検証する

x = (6 ± √(36 − 52))/2 = (6 ± √(−16))/2 = (6 ± 4i)/2 = 3 ± 2i ✓。

3. 例2—純粋に虚数の根：4iと−4i

合計 = 4i + (−4i) = 0。積 = (4i)(−4i) = −16i² = −16(−1) = 16。方程式：x² + 0·x + 16 = 0 → x² + 16 = 0。チェック：x² = −16、x = ±4i ✓。

複素共役根a ± biは、常に首一次二次方程式x² − 2ax + (a² + b²) = 0を与えます。ここで両方の係数は実数です。

避けるべき一般的なミス

これら4つのエラーは、与えられた根から二次方程式を書くことを求める問題で失われたマークの大多数を占めています。各ミスは時間圧下で簡単に起こり、何を注意するかを知ったら避けるのと同じくらい簡単です。

1. ミス1—因数形式の符号エラー

根rの因数は(x − r)であり、(x + r)ではありません。根−3の場合、因数は(x − (−3)) = (x + 3)で、(x − 3)ではありません。(x − 3)を書く代わりに、根3を生成し、−3ではなく—定数項の符号が間違っています。

2. ミス2—因数形式で停止する

(x − r₁)(x − r₂) = 0を書いた後、一部の学生は因数形式の答えのままにします。問題が特に因数形式を要求しない限り、ax² + bx + c = 0まで完全に展開してください。

3. ミス3—マイナス記号なしで直接合計を使用する

ビエタのテンプレートはx² − (和)x + (積) = 0であり、x² + (和)x + (積) = 0ではありません。xの係数は合計の負数です。合計が7に等しい場合、二次方程式の中間項は−7xであり、+7xではありません。

4. ミス4—必要なときに分数をクリアしない

問題が整数係数を要求し、根が分数である場合、ビエタの公式を適用した後に乗算してください。たとえば、x² − (5/4)x + 3/8 = 0は、すべての項に8を乗算することで8x² − 10x + 3 = 0になる必要があります。

完全な解を伴う練習問題

解を読む前に、各問題を作業してください。問題1と2には因数法を使用し、問題3にはビエタの公式を使用し、問題4と5には自分の方法を選択してください。これらの問題は、単純な整数根から複素数の根まで進行し、代数2とSAT練習テストの難易度範囲と一致します。

1. 問題1—根2と9

合計 = 2 + 9 = 11。積 = 2 × 9 = 18。答え：x² − 11x + 18 = 0。チェック：(x − 2)(x − 9) = x² − 9x − 2x + 18 = x² − 11x + 18 ✓。

2. 問題2—根−6と−1

合計 = −6 + (−1) = −7。積 = (−6)(−1) = 6。答え：x² − (−7)x + 6 = x² + 7x + 6 = 0。チェック：(x + 6)(x + 1) = x² + x + 6x + 6 = x² + 7x + 6 ✓。

3. 問題3—根1/3と2

合計 = 1/3 + 2 = 7/3。積 = (1/3)(2) = 2/3。基本方程式：x² − (7/3)x + 2/3 = 0。3を乗算します：3x² − 7x + 2 = 0。チェック：(3x − 1)(x − 2) = 3x² − 6x − x + 2 = 3x² − 7x + 2 ✓。

4. 問題4—根1 + √2と1 − √2

合計 = (1 + √2) + (1 − √2) = 2。積 = (1 + √2)(1 − √2) = 1 − 2 = −1。答え：x² − 2x − 1 = 0。二次公式でチェック：x = (2 ± √(4 + 4))/2 = (2 ± 2√2)/2 = 1 ± √2 ✓。

5. 問題5—根5 + iと5 − i

合計 = 10。積 = (5 + i)(5 − i) = 25 − i² = 25 + 1 = 26。答え：x² − 10x + 26 = 0。チェック：判別式 = 100 − 104 = −4、根 = (10 ± 2i)/2 = 5 ± i ✓。

素早い自己チェック：各根をあなたの方程式に代入します。両方がゼロを生成した場合、方程式は正しいです。

よくある質問

これらの質問は、与えられた根から二次方程式を書くことを最初に学ぶときに、学生が定期的に持ち上げています。答えは、複数の有効な答えから繰り返された根や小数入力まで、最も一般的な混乱のポイントに対応します。

1. 同じ根のペアに複数の正しい二次方程式が存在する可能性があるのか？

はい。x² − 8x + 15 = 0が1つの答えである場合、2x² − 16x + 30 = 0と5x² − 40x + 75 = 0も正しいです—ゼロ以外のスカラー倍数が機能します。一意の答えを望む問題は通常、「首一次形式」（首項係数1）または「GCFが1である整数係数」を指定しています。

2. 両方の根が同じ（繰り返された根）の場合はどうするのか？

繰り返された根rはr₁ = r₂ = rを意味します。方程式は(x − r)² = 0であり、x² − 2rx + r² = 0に展開されます。繰り返された根4の場合：(x − 4)² = x² − 8x + 16 = 0。

3. 小数の根をどのように処理するのか？

同じ方法でビエタの公式を適用します。根0.5と1.5の場合：合計 = 2.0、積 = 0.75。方程式：x² − 2x + 0.75 = 0。整数係数の場合は4で乗算：4x² − 8x + 3 = 0。検証：二次公式は(8 ± √(64−48))/8 = (8 ± 4)/8 = 1.5または0.5を与えます ✓。

4. 根の順序は重要なのか？

いいえ。(x − r₁)(x − r₂)と(x − r₂)(x − r₁)は、乗算の交換法則によって同じ展開を生成します。根をどの順でもリストしてください—方程式は同じです。

5. 根が1つだけ与えられた場合はどうするのか？

1つの根だけでは、和や積などの追加情報がない限り、または根が無理数/複素数である場合（その場合、その共役は自動的に2番目の根です）、一意の二次方程式を定義するのに十分ではありません。たとえば、1つの根が3 + √7であると言われた場合、もう1つは3 − √7でなければならず、合計 = 6と積 = 9 − 7 = 2が得られるので、方程式はx² − 6x + 2 = 0です。

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