guidealgebra

如何根據給定的根寫出二次方程式

March 28, 2026·9 min read·Solvify Team

根據給定的根寫出二次方程式，就是反轉通常的求解過程：不是從方程式中提取根，而是根據根構造方程式。此方法基於一個核心概念——如果 r₁ 和 r₂ 是二次方程式的根，則 (x − r₁)(x − r₂) = 0。本指南涵蓋您將遇到的每種情況，從整數根到分數、無理數和複數共軛根，每種情況都配有完整的計算範例和自檢步驟。

根據根寫出二次方程式是什麼意思？

二次方程式的標準形式為 ax² + bx + c = 0，其中 a ≠ 0。其根（也稱為零點或解）是滿足方程式的 x 值。當問題要求您根據給定的根（例如 3 和 5）寫出二次方程式時，它要求您向後推導——找到一個解時恰好產生這兩個根的方程式。這是從代數2到微積分前課程中測試的核心代數技能，它直接連接因式分解、拋物線圖形和構造高次多項式。關鍵洞察是根和因子是同一枚硬幣的兩面：如果 x = r 是根，那麼 (x − r) 是二次式的因子。

任何具有根 r₁ 和 r₂ 的二次方程式都可以寫成 a(x − r₁)(x − r₂) = 0 的形式，其中 a 是任何非零常數——通常取為 1，除非問題另行說明。

因式分解形式法——逐步進行

最直接的方法是使用因式分解形式。由於根是使因子等於零的值，兩個因子必須是 (x − r₁) 和 (x − r₂)。將這些因子相乘並展開即可得到標準形式的方程式。這個三步驟過程適用於任何一對實根，無論符號或大小如何。仔細進行符號代換——這是最容易出錯的步驟。

1. 步驟 1——寫出因式分解形式

從 (x − r₁)(x − r₂) = 0 開始。將給定的根值代入 r₁ 和 r₂，特別注意符號。對於根 3 和 5：(x − 3)(x − 5) = 0。

2. 步驟 2——使用 FOIL 展開

將兩個二項式相乘。(x − 3)(x − 5) = x·x + x·(−5) + (−3)·x + (−3)·(−5) = x² − 5x − 3x + 15 = x² − 8x + 15。

3. 步驟 3——寫成標準形式並驗證

將展開的式子設為零：x² − 8x + 15 = 0。這就是根為 3 和 5 的二次方程式。驗證：代入 x = 3 → 9 − 24 + 15 = 0 ✓。x = 5 → 25 − 40 + 15 = 0 ✓。

韋達定理——根的和與積的速算法

韋達定理提供了一條更快的方法，完全跳過展開步驟。對於首一二次方程式 x² + bx + c = 0（首項係數為 1），根的和等於 −b，根的積等於 c。重新排列後，這給出了範本 x² − (根的和)x + (根的積) = 0。當您需要根據作為代數表達式而非具體數字的根寫出二次方程式時，或當您想快速檢查因式分解結果時，韋達定理特別有用。

1. 步驟 1——求根的和

將兩個根相加。例：根為 −2 和 7。和 = −2 + 7 = 5。

2. 步驟 2——求根的積

將兩個根相乘。積 = (−2) × 7 = −14。

3. 步驟 3——代入韋達定理範本

x² − (和)x + (積) = 0 變為 x² − 5x + (−14) = 0，簡化為 x² − 5x − 14 = 0。

4. 步驟 4——通過因式分解驗證

x² − 5x − 14 因式分解為 (x − 7)(x + 2) = 0，得到根 x = 7 和 x = −2 ✓。

對於任何首一二次方程式 x² + bx + c = 0：根的和 = −b，根的積 = c。

整數根的計算範例

整數根是測驗和標準化測試中最常見的類型。以下四個範例涵蓋正根、混合符號、兩個負根和一個零根——每種情況都在結果方程式中產生可預測的符號模式。認識這些模式可幫助您更快地寫出和檢查方程式。

1. 範例 1——兩個正根：根 4 和 6

和 = 4 + 6 = 10。積 = 4 × 6 = 24。方程式：x² − 10x + 24 = 0。當兩個根都為正時，中項和常數項都為正。檢查：(x − 4)(x − 6) = x² − 10x + 24 ✓。

2. 範例 2——混合符號：根 −3 和 8

和 = −3 + 8 = 5。積 = (−3) × 8 = −24。方程式：x² − 5x − 24 = 0。當根符號相反時，常數項為負。檢查：(x + 3)(x − 8) = x² − 8x + 3x − 24 = x² − 5x − 24 ✓。

3. 範例 3——兩個負根：根 −5 和 −2

和 = −5 + (−2) = −7。積 = (−5)(−2) = 10。方程式：x² − (−7)x + 10 = x² + 7x + 10 = 0。兩項都為正，因為兩個負數相乘得正數。檢查：(x + 5)(x + 2) = x² + 7x + 10 ✓。

4. 範例 4——一個根為零：根 0 和 9

和 = 0 + 9 = 9。積 = 0 × 9 = 0。方程式：x² − 9x + 0 = 0，簡化為 x² − 9x = 0。檢查：x(x − 9) = 0 得到 x = 0 或 x = 9 ✓。

當兩個根都為負時，中項係數和常數項都為正——與兩個正根的模式相反。

分數根和無理根的計算範例

分數根和無理根出現在標準化測試和微積分前課程中。對於分數根，使用韋達定理後清除分母通常更簡潔，方法是乘以最小公倍數。無理根幾乎總是以 a + √b 和 a − √b 形式的共軛對出現，這很方便：在求和中根式相消，在求積中使用平方差公式得到沒有根式的結果。

1. 範例 1——分數根：1/2 和 3/4

和 = 1/2 + 3/4 = 2/4 + 3/4 = 5/4。積 = (1/2)(3/4) = 3/8。基本方程式：x² − (5/4)x + 3/8 = 0。將每一項乘以 8 以清除分數：8x² − 10x + 3 = 0。驗證：判別式 = 100 − 96 = 4，根 = (10 ± 2)/16 = 3/4 或 1/2 ✓。

2. 範例 2——純根式根：√5 和 −√5

和 = √5 + (−√5) = 0。積 = (√5)(−√5) = −5。方程式：x² − 0·x + (−5) = 0 → x² − 5 = 0。檢查：x² = 5，x = ±√5 ✓。

3. 範例 3——共軛根式根：2 + √3 和 2 − √3

和 = (2 + √3) + (2 − √3) = 4。積 = (2 + √3)(2 − √3) = 4 − 3 = 1。方程式：x² − 4x + 1 = 0。檢查：二次公式得 x = (4 ± √(16 − 4))/2 = (4 ± √12)/2 = 2 ± √3 ✓。

共軛根式根 (a ± √b) 總是產生具有整數係數的二次方程式——它們的和與積都是有理數。

寫出具有複數根的二次方程式

複數根總是以共軛對形式出現：如果一個根是 a + bi，另一個就是 a − bi（其中 i = √(−1)）。這由實係數多項式的複數共軛根定理保證。代數與根式情況相同——使用韋達定理，虛部在求和中相消，而積變成平方和，總是得到正常數。

1. 範例 1——根 3 + 2i 和 3 − 2i

和 = (3 + 2i) + (3 − 2i) = 6。積 = (3 + 2i)(3 − 2i) = 9 − (2i)² = 9 − (−4) = 13。方程式：x² − 6x + 13 = 0。

2. 使用二次公式驗證

x = (6 ± √(36 − 52))/2 = (6 ± √(−16))/2 = (6 ± 4i)/2 = 3 ± 2i ✓。

3. 範例 2——純虛根：4i 和 −4i

和 = 4i + (−4i) = 0。積 = (4i)(−4i) = −16i² = −16(−1) = 16。方程式：x² + 0·x + 16 = 0 → x² + 16 = 0。檢查：x² = −16，x = ±4i ✓。

複數共軛根 a ± bi 總是給出首一二次方程式 x² − 2ax + (a² + b²) = 0，其中兩個係數都是實數。

常見錯誤需要避免

這四個錯誤佔了要求根據給定的根寫出二次方程式的問題中失分的大部分。每個錯誤在時間壓力下都容易犯，一旦您知道要注意什麼，也同樣容易避免。

1. 錯誤 1——因式分解形式中的符號錯誤

根 r 的因子是 (x − r)，不是 (x + r)。對於根 −3，因子是 (x − (−3)) = (x + 3)，不是 (x − 3)。改為寫 (x − 3) 會產生根 3，而不是 −3——常數項的符號會是錯的。

2. 錯誤 2——在因式分解形式處停止

寫出 (x − r₁)(x − r₂) = 0 後，有些學生將答案留在因式分解形式。除非問題特別要求因式分解形式，否則應完全展開為 ax² + bx + c = 0。

3. 錯誤 3——直接使用和而不減去

韋達定理範本是 x² − (和)x + (積) = 0，而不是 x² + (和)x + (積) = 0。x 的係數是和的負值。如果和等於 7，二次方程式的中項是 −7x，而不是 +7x。

4. 錯誤 4——在需要時未清除分數

如果問題要求整數係數且根是分數，則在使用韋達定理後通過乘以最小公倍數來清除分數。例如，x² − (5/4)x + 3/8 = 0 必須通過將每一項乘以 8 變為 8x² − 10x + 3 = 0。

附帶完整解答的練習題

在閱讀解答前先完成每個問題。對於問題 1 和 2 使用因式分解法，對於問題 3 使用韋達定理，對於問題 4 和 5 選擇您喜歡的方法。這些問題從直接的整數根逐漸升級到複數根，與代數2和 SAT 練習測試的難度範圍相符。

1. 問題 1——根 2 和 9

和 = 2 + 9 = 11。積 = 2 × 9 = 18。答案：x² − 11x + 18 = 0。檢查：(x − 2)(x − 9) = x² − 9x − 2x + 18 = x² − 11x + 18 ✓。

2. 問題 2——根 −6 和 −1

和 = −6 + (−1) = −7。積 = (−6)(−1) = 6。答案：x² − (−7)x + 6 = x² + 7x + 6 = 0。檢查：(x + 6)(x + 1) = x² + x + 6x + 6 = x² + 7x + 6 ✓。

3. 問題 3——根 1/3 和 2

和 = 1/3 + 2 = 7/3。積 = (1/3)(2) = 2/3。基本方程式：x² − (7/3)x + 2/3 = 0。乘以 3：3x² − 7x + 2 = 0。檢查：(3x − 1)(x − 2) = 3x² − 6x − x + 2 = 3x² − 7x + 2 ✓。

4. 問題 4——根 1 + √2 和 1 − √2

和 = (1 + √2) + (1 − √2) = 2。積 = (1 + √2)(1 − √2) = 1 − 2 = −1。答案：x² − 2x − 1 = 0。通過二次公式檢查：x = (2 ± √(4 + 4))/2 = (2 ± 2√2)/2 = 1 ± √2 ✓。

5. 問題 5——根 5 + i 和 5 − i

和 = 10。積 = (5 + i)(5 − i) = 25 − i² = 25 + 1 = 26。答案：x² − 10x + 26 = 0。檢查：判別式 = 100 − 104 = −4，根 = (10 ± 2i)/2 = 5 ± i ✓。

快速自檢：將每個根代入您的方程式。如果兩個都產生零，那麼方程式正確。

常見問題解答

當學生剛開始學習根據指定的根寫出二次方程式時，這些問題會經常出現。這些答案涉及最常見的困惑點，從同一對根的多個有效答案到重根和十進位輸入。

1. 同一對根是否可以有多個正確的二次方程式？

是的。如果 x² − 8x + 15 = 0 是一個答案，那麼 2x² − 16x + 30 = 0 和 5x² − 40x + 75 = 0 也正確——任何非零標量倍數都有效。想要唯一答案的問題通常指定「首一形式」（首項係數為 1）或「整數係數且最大公因子為 1」。

2. 如果兩個根相同（重根）呢？

重根 r 意味著 r₁ = r₂ = r。方程式是 (x − r)² = 0，展開為 x² − 2rx + r² = 0。對於重根 4：(x − 4)² = x² − 8x + 16 = 0。

3. 我如何處理十進位根？

以相同方式應用韋達定理。對於根 0.5 和 1.5：和 = 2.0，積 = 0.75。方程式：x² − 2x + 0.75 = 0。乘以 4 得到整數係數：4x² − 8x + 3 = 0。驗證：(4x − 2)(x − 1.5) → 嗯，更容易檢查：二次公式給 (8 ± √(64−48))/8 = (8 ± 4)/8 = 1.5 或 0.5 ✓。

4. 根的順序重要嗎？

不重要。(x − r₁)(x − r₂) 和 (x − r₂)(x − r₁) 通過乘法的交換律產生相同的展開。以任何順序列出根——方程式是相同的。

5. 如果只給定了一個根呢？

單獨一個根不足以定義唯一的二次方程式，除非您有額外信息，如根的和或積，或根是無理數/複數（在這種情況下其共軛自動是第二個根）。例如，如果告訴您一個根是 3 + √7，另一個必須是 3 − √7，得到和 = 6 和積 = 9 − 7 = 2，所以方程式是 x² − 6x + 2 = 0。

標籤: