Hur man skriver den andragradsekvation vars rötter är givna
För att skriva andragradsekvationen vars rötter är givna vänder du på den vanliga lösningsprocessen: istället för att extrahera rötter från en ekvation, konstruerar du ekvationen från dess rötter. Metoden vilar på en enda idé — om r₁ och r₂ är rötter till en andragradsekvation, då är (x − r₁)(x − r₂) = 0. Den här guiden täcker alla fall du kommer att möta, från heltalrötter till bråk, irrationella tal och komplexa konjugat, var och en illustrerad med helt genomarbetade exempel och självkontrollsteg.
Innehåll
- 01Vad betyder det att skriva en andragradsekvation från dess rötter?
- 02Faktorformmetoden — steg för steg
- 03Vietas formler — summa- och produktgenvägen
- 04Genomarbetade exempel med heltalrötter
- 05Genomarbetade exempel med bråk- och irrationella rötter
- 06Skriva andragradsekvationer med komplexa rötter
- 07Vanliga misstag att undvika
- 08Övningsproblem med kompletta lösningar
- 09Vanliga frågor
Vad betyder det att skriva en andragradsekvation från dess rötter?
En andragradsekvation har standardformen ax² + bx + c = 0, där a ≠ 0. Dess rötter (även kallade nollställen eller lösningar) är x-värdena som uppfyller ekvationen. När ett problem ber dig att skriva andragradsekvationen vars rötter är, säg, 3 och 5, ber det dig att arbeta baklänges — hitta en ekvation som producerar exakt dessa två rötter när den löses. Detta är en kärnalgebrafärdighet som testas från Algebra 2 till förkalcyl, och den förbinder sig direkt till faktorisering, grafritning av paraboler och konstruktion av högre gradspolynom. Nyckelinsikten är att rötter och faktorer är två sidor av samma mynt: om x = r är en rot, då är (x − r) en faktor i andragradsekationen.
Varje andragradsekvation med rötter r₁ och r₂ kan skrivas som a(x − r₁)(x − r₂) = 0, där a är någon konstant skild från noll — vanligtvis tagen som 1 såvida problemet inte säger något annat.
Faktorformmetoden — steg för steg
Det mest direkta tillvagagångssättet är att använda faktoriserad form. Eftersom en rot är ett värde som gör en faktor lika med noll, måste de två faktorerna vara (x − r₁) och (x − r₂). Om du multiplicerar dessa faktorer och expanderar får du standardformekvationen. Denna trestegsprocess fungerar för alla par av verkliga rötter, oavsett tecken eller storlek. Arbeta igenom teckenomvandlingen noggrant — det är steget där de flesta fel uppstår.
1. Steg 1 — Skriv faktoriserad form
Börja med (x − r₁)(x − r₂) = 0. Ersätt de givna rotvärden för r₁ och r₂, och var noga uppmärksam på tecken. För rötter 3 och 5: (x − 3)(x − 5) = 0.
2. Steg 2 — Expandera med FOIL
Multiplicera de två binomen. (x − 3)(x − 5) = x·x + x·(−5) + (−3)·x + (−3)·(−5) = x² − 5x − 3x + 15 = x² − 8x + 15.
3. Steg 3 — Skriv i standardform och verifiera
Sätt det expanderade uttrycket lika med noll: x² − 8x + 15 = 0. Detta är andragradsekvationen med rötter 3 och 5. Verifiera genom att ersätta: x = 3 → 9 − 24 + 15 = 0 ✓. x = 5 → 25 − 40 + 15 = 0 ✓.
Vietas formler — summa- och produktgenvägen
Vietas formler erbjuder en snabbare väg som hoppar över expansionssteget helt och hållet. För en monisk andragradsekvation x² + bx + c = 0 (ledande koefficient 1), motsvarar summan av rötterna −b och produkten av rötterna motsvarar c. Omordnat ger detta mallen x² − (summa av rötter)x + (produkt av rötter) = 0. Vietas formler är särskilt användbara när du behöver skriva andragradsekvationen vars rötter är givna som algebraiska uttryck snarare än specifika siffror, eller när du snabbt vill kontrollera ett faktoriseringsresultat.
1. Steg 1 — Hitta summan av rötterna
Lägg till de två rötterna. Exempel: rötter är −2 och 7. Summa = −2 + 7 = 5.
2. Steg 2 — Hitta produkten av rötterna
Multiplicera de två rötterna. Produkt = (−2) × 7 = −14.
3. Steg 3 — Ersätt i Vietas mall
x² − (summa)x + (produkt) = 0 blir x² − 5x + (−14) = 0, vilket förenklas till x² − 5x − 14 = 0.
4. Steg 4 — Verifiera genom faktorisering
x² − 5x − 14 faktoriseras som (x − 7)(x + 2) = 0, vilket ger rötter x = 7 och x = −2 ✓.
För någon monisk andragradsekvation x² + bx + c = 0: summa av rötter = −b och produkt av rötter = c.
Genomarbetade exempel med heltalrötter
Heltalrötter är den vanligaste typen på tester och standardiserade prov. De fyra exempel nedan täcker positiva rötter, blandade tecken, båda-negativa rötter och en nollrot — varje scenario producerar ett förutsägbart teckningsmönster i den resulterande ekvationen. Att känna igen dessa mönster hjälper dig att skriva och kontrollera ekvationer snabbare.
1. Exempel 1 — Båda rötterna positiva: rötter 4 och 6
Summa = 4 + 6 = 10. Produkt = 4 × 6 = 24. Ekvation: x² − 10x + 24 = 0. Både mellanleddet och konstanten är positiva när båda rötterna är positiva. Kontroll: (x − 4)(x − 6) = x² − 10x + 24 ✓.
2. Exempel 2 — Blandade tecken: rötter −3 och 8
Summa = −3 + 8 = 5. Produkt = (−3) × 8 = −24. Ekvation: x² − 5x − 24 = 0. Konstanten är negativ när rötterna har motsatta tecken. Kontroll: (x + 3)(x − 8) = x² − 8x + 3x − 24 = x² − 5x − 24 ✓.
3. Exempel 3 — Båda rötterna negativa: rötter −5 och −2
Summa = −5 + (−2) = −7. Produkt = (−5)(−2) = 10. Ekvation: x² − (−7)x + 10 = x² + 7x + 10 = 0. Båda termerna är positiva eftersom två negativ multipliceras till en positiv. Kontroll: (x + 5)(x + 2) = x² + 7x + 10 ✓.
4. Exempel 4 — En rot är noll: rötter 0 och 9
Summa = 0 + 9 = 9. Produkt = 0 × 9 = 0. Ekvation: x² − 9x + 0 = 0, vilket förenklas till x² − 9x = 0. Kontroll: x(x − 9) = 0 ger x = 0 eller x = 9 ✓.
När båda rötterna är negativa, är både koefficientens för mellanledet och konstanten positiva — motsatt mönster från båda-positiva rötter.
Genomarbetade exempel med bråk- och irrationella rötter
Bråkrötter och irrationella rötter framträder på standardiserade prov och i förkalcyl. Med bråkrötter är det ofta renare att rensa nämnare genom att multiplicera genom med LCM efter att ha tillämpat Vietas formler. Irrationella rötter kommer nästan alltid i konjugatpar av formen a + √b och a − √b, vilket är bekvämt: rotuttrycken avbryts i summan, och produkten blir en skillnad på kvadrater utan radikaler kvar.
1. Exempel 1 — Bråkrötter: 1/2 och 3/4
Summa = 1/2 + 3/4 = 2/4 + 3/4 = 5/4. Produkt = (1/2)(3/4) = 3/8. Basekvation: x² − (5/4)x + 3/8 = 0. Multiplicera varje term med 8 för att rensa bråk: 8x² − 10x + 3 = 0. Verifiera: diskriminant = 100 − 96 = 4, rötter = (10 ± 2)/16 = 3/4 eller 1/2 ✓.
2. Exempel 2 — Rena rotrötter: √5 och −√5
Summa = √5 + (−√5) = 0. Produkt = (√5)(−√5) = −5. Ekvation: x² − 0·x + (−5) = 0 → x² − 5 = 0. Kontroll: x² = 5, x = ±√5 ✓.
3. Exempel 3 — Konjugerade rotrötter: 2 + √3 och 2 − √3
Summa = (2 + √3) + (2 − √3) = 4. Produkt = (2 + √3)(2 − √3) = 4 − 3 = 1. Ekvation: x² − 4x + 1 = 0. Kontroll: kvadratformeln ger x = (4 ± √(16 − 4))/2 = (4 ± √12)/2 = 2 ± √3 ✓.
Konjugerade rotrötter (a ± √b) producerar alltid en andragradsekvation med heltalskoefficienter — deras summa och produkt är båda rationella tal.
Skriva andragradsekvationer med komplexa rötter
Komplexa rötter framträder alltid som konjugatpar: om en rot är a + bi, den andra är a − bi (där i = √(−1)). Detta garanteras av det komplexa konjugatrotteormet för polynom med verkliga koefficienter. Algebran är identisk med rotfallet — använd Vietas formler och de imaginära delarna avbryts i summan, medan produkten blir en summa av kvadrater, alltid givande en positiv konstant.
1. Exempel 1 — Rötter 3 + 2i och 3 − 2i
Summa = (3 + 2i) + (3 − 2i) = 6. Produkt = (3 + 2i)(3 − 2i) = 9 − (2i)² = 9 − (−4) = 13. Ekvation: x² − 6x + 13 = 0.
2. Verifiera med kvadratformeln
x = (6 ± √(36 − 52))/2 = (6 ± √(−16))/2 = (6 ± 4i)/2 = 3 ± 2i ✓.
3. Exempel 2 — Rent imaginära rötter: 4i och −4i
Summa = 4i + (−4i) = 0. Produkt = (4i)(−4i) = −16i² = −16(−1) = 16. Ekvation: x² + 0·x + 16 = 0 → x² + 16 = 0. Kontroll: x² = −16, x = ±4i ✓.
Komplexa konjugatrötter a ± bi ger alltid den moniska andragradsekvationen x² − 2ax + (a² + b²) = 0, där båda koefficienterna är verkliga.
Vanliga misstag att undvika
Dessa fyra fel står för majoriteten av förlorad poäng på problem som ber elever att skriva andragradsekvationen vars rötter är givna. Varje misstag är lätt att göra under tidspress och precis lika lätt att undvika när du väl vet vad du ska se upp för.
1. Misstag 1 — Teckental i faktorformen
Faktorn för rot r är (x − r), inte (x + r). För rot −3 är faktorn (x − (−3)) = (x + 3), inte (x − 3). Om du skriver (x − 3) istället produceras rötter av 3, inte −3 — tecknet på konstanttermen kommer att vara fel.
2. Misstag 2 — Stannar vid faktoriserad form
Efter att ha skrivit (x − r₁)(x − r₂) = 0 lämnar vissa elever svaret i faktoriserad form. Såvida problemet inte specifikt ber om faktoriserad form, expandera fullt till ax² + bx + c = 0.
3. Misstag 3 — Använder summa direkt utan minustecknet
Vietas mall är x² − (summa)x + (produkt) = 0, inte x² + (summa)x + (produkt) = 0. Koefficienten för x är negationen av summan. Om summan är 7 har andragradsekvationen −7x som sitt mellanled, inte +7x.
4. Misstag 4 — Rensar inte bråk när det krävs
Om problemet ber om heltalskoefficienter och rötterna är bråk, multiplicera genom efter att ha använt Vietas formler. Till exempel måste x² − (5/4)x + 3/8 = 0 bli 8x² − 10x + 3 = 0 genom att multiplicera varje term med 8.
Övningsproblem med kompletta lösningar
Arbeta igenom varje problem innan du läser lösningen. Använd faktorsmetoden för problem 1 och 2, Vietas formler för problem 3, och din val av metod för problem 4 och 5. Dessa problem utvecklas från rakt framåt heltalrötter till komplexa rötter, vilket motsvarar svårighetsgraden på Algebra 2 och SAT-övningstester.
1. Problem 1 — Rötter 2 och 9
Summa = 2 + 9 = 11. Produkt = 2 × 9 = 18. Svar: x² − 11x + 18 = 0. Kontroll: (x − 2)(x − 9) = x² − 9x − 2x + 18 = x² − 11x + 18 ✓.
2. Problem 2 — Rötter −6 och −1
Summa = −6 + (−1) = −7. Produkt = (−6)(−1) = 6. Svar: x² − (−7)x + 6 = x² + 7x + 6 = 0. Kontroll: (x + 6)(x + 1) = x² + x + 6x + 6 = x² + 7x + 6 ✓.
3. Problem 3 — Rötter 1/3 och 2
Summa = 1/3 + 2 = 7/3. Produkt = (1/3)(2) = 2/3. Basekvation: x² − (7/3)x + 2/3 = 0. Multiplicera med 3: 3x² − 7x + 2 = 0. Kontroll: (3x − 1)(x − 2) = 3x² − 6x − x + 2 = 3x² − 7x + 2 ✓.
4. Problem 4 — Rötter 1 + √2 och 1 − √2
Summa = (1 + √2) + (1 − √2) = 2. Produkt = (1 + √2)(1 − √2) = 1 − 2 = −1. Svar: x² − 2x − 1 = 0. Kontroll via kvadratformel: x = (2 ± √(4 + 4))/2 = (2 ± 2√2)/2 = 1 ± √2 ✓.
5. Problem 5 — Rötter 5 + i och 5 − i
Summa = 10. Produkt = (5 + i)(5 − i) = 25 − i² = 25 + 1 = 26. Svar: x² − 10x + 26 = 0. Kontroll: diskriminant = 100 − 104 = −4, rötter = (10 ± 2i)/2 = 5 ± i ✓.
Snabb självkontroll: ersätt varje rot tillbaka i din ekvation. Om båda producerar noll, är ekvationen korrekt.
Vanliga frågor
Dessa frågor dyker upp regelbundet när elever först lär sig att skriva andragradsekvationen vars rötter är specificerade. Svaren behandlar de vanligaste förvirringspunkterna, från flera giltiga svar till upprepade rötter och decimalinmatningar.
1. Kan det finnas mer än en korrekt andragradsekvation för samma par rötter?
Ja. Om x² − 8x + 15 = 0 är ett svar, då är 2x² − 16x + 30 = 0 och 5x² − 40x + 75 = 0 också korrekta — något icke-noll skalär multipel fungerar. Problem som vill ha ett unikt svar anger vanligtvis 'monisk form' (ledande koefficient 1) eller 'heltalskoefficienter med GCD 1'.
2. Vad om båda rötterna är samma (en upprepad rot)?
En upprepad rot r betyder r₁ = r₂ = r. Ekvationen är (x − r)² = 0, som expanderas till x² − 2rx + r² = 0. För en upprepad rot av 4: (x − 4)² = x² − 8x + 16 = 0.
3. Hur hanterar jag decimalrötter?
Använd Vietas formler på samma sätt. För rötter 0,5 och 1,5: summa = 2,0, produkt = 0,75. Ekvation: x² − 2x + 0,75 = 0. Multiplicera med 4 för heltalskoefficienter: 4x² − 8x + 3 = 0. Verifiera: (4x − 2)(x − 1,5) → hmm, enklare kontroll: kvadratformel ger (8 ± √(64−48))/8 = (8 ± 4)/8 = 1,5 eller 0,5 ✓.
4. Spelar ordningen på rötterna någon roll?
Nej. (x − r₁)(x − r₂) och (x − r₂)(x − r₁) producerar samma expansion genom multiplikationens kommutativa egenskap. Lista rötterna i vilket ordning som helst — ekvationen är identisk.
5. Vad om endast en rot är given?
En rot ensam räcker inte för att definiera en unik andragradsekvation såvida du inte har extra information som summan eller produkten, eller roten är irrationell/komplex (i vilket fall dess konjugat automatiskt är den andra roten). Till exempel, om du får veta att en rot är 3 + √7, måste den andra vara 3 − √7, vilket ger summa = 6 och produkt = 9 − 7 = 2, så ekvationen är x² − 6x + 2 = 0.
Relaterade artiklar
Hur man faktoriserar en andragradsekvation
Steg-för-steg-metoder för att faktorisera någon andragradsekvation — från enkla trinomialer till AC-metoden och att fylla kvadraten.
Faktoriserad form av en andragradsekvation
Förstå vad den faktoriserade formen berättar om rötter och vertex, med genomarbetade exempel och grafer.
Andragradsekvation ordproblem
Öva på att ställa upp och lösa verkliga andragradsekvationer, från projektilrörelse till områdesprobllem.
Relaterade matematiklösare
Steg-för-steg-lösningar
Få detaljerade förklaringar för varje steg, inte bara det slutgiltiga svaret.
AI Math Tutor
Ställ följdfrågor och få personliga förklaringar 24/7.
Övningsläge
Skapa liknande problem för att öva och bygga förtroende.
Relaterade ämnen
Algebrahjälp
Komplett guide för att lösa algebraiska ekvationer, formler och ordproblem steg för steg.
Andragradsekvationer
Genomarbetade exempel och övningsproblem som täcker varje typ av andragradsekvation.
Fylla kvadraten
Behärska att fylla kvadraten för att lösa andragradsekvationer och härleda kvadratformeln.